CEDRA

1. Ecuațiile liniare cu o necunoscută

O ecuație liniară cu o necunoscută este o egalitate care conține o singură variabilă, notată de obicei cu xxx, și poate fi scrisă în forma generală: ax+b=0ax + b = 0ax+b=0

unde aaa și bbb sunt numere reale, iar a≠0a \neq 0a=0.

Exemplu: 3x+5=03x + 5 = 03x+5=0

1.1. Metoda de rezolvare

Pentru a rezolva o ecuație liniară, urmăm pașii:

1. Mutăm termenii liberi pe cealaltă parte a egalității:

3x=−53x = -53x=−5

2. Împărțim ambele părți la coeficientul necunoscutei:

x=−53x = -\frac{5}{3}x=−35​

Astfel, soluția ecuației este x=−53x = -\frac{5}{3}x=−35​.

2. Inecuațiile liniare cu o necunoscută

O inecuație liniară cu o necunoscută are forma: ax+b>0sauax+b<0sauax+b≥0sauax+b≤0ax + b > 0 \quad \text{sau} \quad ax + b < 0 \quad \text{sau} \quad ax + b \ge 0 \quad \text{sau} \quad ax + b \le 0ax+b>0sauax+b<0sauax+b≥0sauax+b≤0

unde a≠0a \neq 0a=0.

Exemplu: 2x−4<02x – 4 < 02x−4<0

2.1. Metoda de rezolvare

Pașii sunt similari cu cei pentru ecuații:

1. Mutăm termenul liber pe cealaltă parte:

2x<42x < 42x<4

2. Împărțim ambele părți la coeficientul lui xxx (pozitiv sau negativ – dacă e negativ, schimbăm sensul inegalității):

x<2x < 2x<2

Deci soluția este mulțimea numerelor reale mai mici decât 2: x∈(−∞,2)x \in (-\infty, 2)x∈(−∞,2).

3. Aplicarea ecuațiilor și inecuațiilor în probleme practice

Ecuațiile și inecuațiile liniare sunt instrumente esențiale pentru rezolvarea problemelor din viața reală, cum ar fi:

1. Probleme cu bani:
   Exemplu: „Maria are cu 5 lei mai mult decât Ana. Dacă Ana are xxx lei, câți bani are Maria?”
   Ecuația: x+5=yx + 5 = yx+5=y, unde yyy este suma Mariei.
2. Probleme de proporții și măsurători:
   Exemplu: „Lungimea unui dreptunghi este cu 3 m mai mare decât lățimea sa. Perimetrul dreptunghiului este 22 m. Care sunt dimensiunile dreptunghiului?”
   Ecuația: 2(l+L)=222(l + L) = 222(l+L)=22
   Substituind L=l+3L = l + 3L=l+3, obținem:

2(l+l+3)=22⇒4l+6=22⇒l=4 m, L=7 m2(l + l + 3) = 22 \Rightarrow 4l + 6 = 22 \Rightarrow l = 4 \text{ m}, \, L = 7 \text{ m}2(l+l+3)=22⇒4l+6=22⇒l=4 m,L=7 m

3. Probleme cu inecuații (condiții limită):
   Exemplu: „O fabrică poate produce cel mult 500 de produse pe zi. Dacă xxx este numărul produselor produse, care este condiția pentru xxx?”
   Inecuatia: x≤500x \le 500x≤500

Astfel, elevii pot folosi ecuațiile și inecuațiile pentru a găsi soluții și pentru a verifica dacă anumite condiții sunt respectate în situații reale.

4. Concluzii

• Ecuațiile liniare cu o necunoscută ne ajută să aflăm valoarea unei variabile necunoscute.
• Inecuațiile liniare ne arată condițiile sub care anumite situații sunt posibile.
• În viața reală, aceste instrumente matematice se aplică în finanțe, măsurători, planificarea producției, programe de lucru și multe alte domenii.